O ÁTOMO DE GRACELI - QUÂNTICO INTERACIONAL DIMENSIONAL INDETERMINADO

O ÁTOMO QUÂNTICO INTERACIONAL INDETERMINADO DE GRACELI [SPIN-ÓRBITA , MOMENTUM MAGNÉTICO, DIMENSÕES DE GRACELI].

EQUAÇÃO DE GRACELI.

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

O modelo de Bohr fornece resultados quase exatos apenas para um sistema onde dois pontos carregados orbitam um ao outro a velocidades muito menores que a da luz. Isso não envolve apenas sistemas de um elétron, como o átomo de hidrogênio , o hélio ionizado individualmente e o lítio duplamente ionizado , mas também inclui os estados de positrônio e Rydberg de qualquer átomo onde um elétron esteja distante de todo o resto. Ele pode ser usado para cálculos de transição de raios X da linha K se outras suposições forem adicionadas (veja a lei de Moseley abaixo). Em física de altas energias, ele pode ser usado para calcular as massas de mésons de quarks pesados .

O cálculo das órbitas requer duas suposições.

Mecânica clássica
O elétron é mantido em uma órbita circular por atração eletrostática. A força centrípeta é igual à força de Coulomb .
${\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},$
$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$
onde m _e é a massa do elétron, e é a carga elementar , k _e é a constante de Coulomb e Z é o número atômico do átomo . Assume-se aqui que a massa do núcleo é muito maior que a massa do elétron (o que é uma boa suposição). Esta equação determina a velocidade do elétron em qualquer raio:
$v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.$
$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$
Ele também determina a energia total do elétron em qualquer raio:
$E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.$
$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$
A energia total é negativa e inversamente proporcional a r . Isso significa que é necessária energia para afastar o elétron em órbita do próton. Para valores infinitos de r , a energia é zero, correspondendo a um elétron imóvel infinitamente distante do próton. A energia total é metade da energia potencial , sendo a diferença a energia cinética do elétron. Isso também é válido para órbitas não circulares pelo teorema do virial .
Uma regra quântica
O momento angular L = m _evr é um múltiplo inteiro de ħ :
$m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .$
$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Na mecânica clássica, se um elétron estiver orbitando um átomo com período T, e se seu acoplamento ao campo eletromagnético for fraco, de modo que a órbita não decaia muito em um ciclo, ele emitirá radiação eletromagnética em um padrão que se repete em cada período, de modo que a transformada de Fourier do padrão terá apenas frequências que sejam múltiplos de 1/T.

No entanto, na mecânica quântica, a quantização do momento angular leva a níveis discretos de energia das órbitas, e as frequências emitidas são quantizadas de acordo com as diferenças de energia entre esses níveis. Essa natureza discreta dos níveis de energia introduz um afastamento fundamental da lei clássica da radiação, dando origem a linhas espectrais distintas na radiação emitida.

Bohr assume que o elétron está circulando o núcleo em uma órbita elíptica obedecendo às regras da mecânica clássica, mas sem perda de radiação devido à fórmula de Larmor .

Denotando a energia total como E , a carga do elétron como − e , a carga do núcleo como K = Ze , a massa do elétron como m _e , metade do eixo maior da elipse como a , ele começa com estas equações: ^[ 11 ]^{: 3}

\nu ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {\vert E\vert ^{\frac {3}{2}}}{eK{\sqrt {m}}_{\text{e}}}}\ \ \ (1a)

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

2a={\frac {eK}{\vert E\vert }}\ \ \ (1b)

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Supõe-se que E seja negativo, porque uma energia positiva é necessária para desvincular o elétron do núcleo e colocá-lo em repouso a uma distância infinita.

A equação (1a) é obtida igualando a força centrípeta à força Coulombiana atuando entre o núcleo e o elétron, considerando que $E=T+U$

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ (onde T é a energia cinética média e U o potencial eletrostático médio), e que para a segunda lei de Kepler, a separação média entre o elétron e o núcleo é a .

A equação (1b) é obtida a partir das mesmas premissas da equação (1a) mais o teorema virial, afirmando que, para uma órbita elíptica,

T=-{\frac {1}{2}}U\ \ \ (1c).

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Então Bohr assume que $\vert E\vert$ é um múltiplo inteiro da energia de um quantum de luz com metade da frequência da frequência de revolução do elétron, ^[ 11 ]^{: 4} ou seja:

\vert E\vert =nh{\frac {\nu }{2}}\ \ \ (2).

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Da equação (1a, 1b, 2), desce:

\vert E\vert ={\frac {2\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{2}h^{2}}}\ \ \ (3a)

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

\nu ={\frac {4\pi ^{2}m_{\text{e}}e^{2}K^{2}}{n^{3}h^{3}}}\ \ \ (3b)

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

2a={\frac {n^{2}h^{2}}{2\pi ^{2}m_{\text{e}}eK}}\ \ \ (3c).

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

/

Ele assume ainda que a órbita é circular, ou seja $a=r$ , e, denotando o momento angular do elétron como L , introduz a equação:

\pi L={\frac {T}{\nu }}\ \ \ (4).

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A equação (4) decorre do teorema do virial e das relações da mecânica clássica entre o momento angular, a energia cinética e a frequência de revolução.

Da equação (1c, 2, 4), decorre:

L=nL_{0},

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde:

L_{0}={\frac {h}{2\pi }}=\hbar ,

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

aquilo é:

L=n\hbar .

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Este resultado afirma que o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro da constante de Planck reduzida. ^[ 11 ]^{: 15}

Substituindo a expressão pela velocidade, obtemos uma equação para r em termos de n :

m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

de modo que o raio da órbita permitido em qualquer n seja

r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

O menor valor possível de r no átomo de hidrogênio ( Z = 1 ) é chamado de raio de Bohr e é igual a:

r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A energia do n -ésimo nível para qualquer átomo é determinada pelo raio e pelo número quântico:

E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6\ Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Um elétron no nível de energia mais baixo do hidrogênio ( n = 1 ) tem, portanto, cerca de 13,6 eV menos energia do que um elétron imóvel infinitamente longe do núcleo. O próximo nível de energia ( n = 2 ) é −3,4 eV. O terceiro ( n = 3 ) é −1,51 eV, e assim por diante. Para valores maiores de n , essas também são as energias de ligação de um átomo altamente excitado com um elétron em uma grande órbita circular ao redor do resto do átomo. A fórmula do hidrogênio também coincide com o produto de Wallis . ^[ 29 ]

A combinação de constantes naturais na fórmula de energia é chamada de energia de Rydberg ( R _E ):

R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Esta expressão é esclarecida interpretando-a em combinações que formam unidades mais naturais :

m_{\mathrm {e} }c^{2}

é a energia da massa de repouso do elétron (511 keV),

{\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}

é a constante de estrutura fina ,

R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}

. /

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Como esta derivação parte da premissa de que o núcleo é orbitado por um elétron, podemos generalizar este resultado considerando que o núcleo tem uma carga q = Ze , onde Z é o número atômico. Isso nos dará os níveis de energia para átomos hidrogenados (semelhantes ao hidrogênio), que podem servir como uma aproximação aproximada da ordem de grandeza dos níveis de energia reais. Assim, para núcleos com Z prótons, os níveis de energia são (em uma aproximação aproximada):

E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Os níveis de energia reais não podem ser resolvidos analiticamente para mais de um elétron (veja o problema de n corpos ) porque os elétrons não são apenas afetados pelo núcleo , mas também interagem entre si por meio da força de Coulomb .

Quando Z = 1/ α ( Z ≈ 137 ), o movimento se torna altamente relativístico, e Z² cancela o α ² em R ; a energia da órbita começa a ser comparável à energia de repouso. Núcleos suficientemente grandes, se fossem estáveis, reduziriam sua carga criando um elétron ligado do vácuo, ejetando o pósitron ao infinito. Este é o fenômeno teórico da triagem de carga eletromagnética que prevê uma carga nuclear máxima. A emissão de tais pósitrons foi observada nas colisões de íons pesados para criar núcleos superpesados temporários. ^[ 30 ]

A fórmula de Bohr usa corretamente a massa reduzida do elétron e do próton em todas as situações, em vez da massa do elétron,

m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

No entanto, esses números são quase os mesmos, devido à massa muito maior do próton, cerca de 1836,1 vezes a massa do elétron, de modo que a massa reduzida no sistema é a massa do elétron multiplicada pela constante 1836,1/(1 + 1836,1) = 0,99946 . Esse fato foi historicamente importante para convencer Rutherford da importância do modelo de Bohr, pois explicava o fato de que as frequências das linhas nos espectros para hélio ionizado individualmente não diferem das do hidrogênio por um fator de exatamente 4, mas sim por 4 vezes a razão da massa reduzida para os sistemas de hidrogênio vs. hélio, que estava muito mais próxima da razão experimental do que exatamente 4.

Para o positrônio, a fórmula também usa a massa reduzida, mas, neste caso, é exatamente a massa do elétron dividida por 2. Para qualquer valor do raio, o elétron e o pósitron se movem à metade da velocidade em torno de seu centro de massa comum, e cada um tem apenas um quarto da energia cinética. A energia cinética total é metade do que seria para um único elétron se movendo em torno de um núcleo pesado.

E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}

(positrônio). /

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Fórmula de Rydberg

A partir do final da década de 1860, Johann Balmer e, posteriormente, Johannes Rydberg e Walther Ritz desenvolveram fórmulas empíricas cada vez mais precisas, correspondendo às linhas espectrais atômicas medidas. Fundamental para o trabalho posterior de Bohr, Rydberg expressou sua fórmula em termos de número de onda, equivalente à frequência. ^[ 31 ] Essas fórmulas continham uma constante, $�$ , agora conhecida como constante de Rydberg e um par de inteiros indexando as linhas: ^[ 14 ]^{: 247} $\nu =R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

$G$

$muitas tentativas, nenhuma teoria do átomo conseguiu reproduzir estas fórmulas relativamente simples. [14] : 169$

Na teoria de Bohr, descrever as energias de transições ou saltos quânticos entre níveis de energia orbitais é capaz de explicar essas fórmulas. Para o átomo de hidrogênio, Bohr parte de sua fórmula derivada para a energia liberada quando um elétron livre se move para uma órbita circular estável indexada por $\tau$ : ^[ 32 ] $W_{\tau }={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}\tau ^{2}}}$ / $G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$A diferença de energia entre dois desses níveis é então:$

$h\nu =W_{\tau _{2}}-W_{\tau _{1}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)$ / $G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$Portanto, a teoria de Bohr fornece a fórmula de Rydberg e, além disso, o valor numérico da constante de Rydberg para o hidrogênio em termos de constantes mais fundamentais da natureza, incluindo a carga do elétron, a massa do elétron e a constante de Planck : [33] : 31 [34]$

$cR_{\text{H}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}.$ $G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Como a energia de um fóton é

E={\frac {hc}{\lambda }},

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

esses resultados podem ser expressos em termos do comprimento de onda do fóton emitido:

{\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{\text{f}}^{2}}}-{\frac {1}{n_{\text{i}}^{2}}}\right).

$G$ $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A derivação da constante de Rydberg por Bohr, bem como a concordância concomitante da fórmula de Bohr com as linhas espectrais observadas experimentalmente das séries de Lyman ( $n f$ = 1), Balmer ( $n f$ = 2) e Paschen ( $n f$ = 3), e a previsão teórica bem-sucedida de outras linhas ainda não observadas, foram uma das razões pelas quais seu modelo foi imediatamente aceito. ^[ 34 ]^{: 34}

Para aplicar a átomos com mais de um elétron, a fórmula de Rydberg pode ser modificada substituindo $Z$ por $Z - b$ ou $n$ por $n - b$ , onde $b$ é constante, representando um efeito de blindagem devido à camada interna e a outros elétrons (veja Camada eletrônica e a discussão posterior do "Modelo de Camada do Átomo" abaixo). Isso foi estabelecido empiricamente antes de Bohr apresentar seu modelo.

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